40 SOAL DAN PEMBAHASAN DERET BILANGAN MATEMATIKA

1. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U₁ = x^1/3 dan U₂ = x^1/2, maka suku ke lima dari deret tersebut adalah
r = U₂/U₁ = x^1/2 : x^1/3 = x ^(1/2-1/3) = x^1/6 U₅ = a. (r)4 U₅ = x^1/3 . x^4/6 U₅ = x ^6/6 = x
U₁ = a^-4, U₂ = a^x maka r = U₂/U₁ = a^x/a^-4 = a^x+4 (ingat sifat eksponen)
U8 = a.(r)⁷
a⁵² = a^-4 (a^x+4)⁷
a⁵² = a^-4 a^7x+28
a⁵² =  a^7x+24
52 = 7x+24
7x = 28
x = 4
Un = 4^-n dari persamaan ini dapat menentukan
a = U₁ = 4^-1, U2 = 4^-2

2. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a^-4 dan a^x. Jika suku kedelapan adalah a⁵², maka berapa nilai x?

3. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4^-n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama dengan

r = U₂/U₁ = 4^-2/4^-1 = 4^-1 = 1/4
S_n→∞ = a/[1-r] =  1/4 : [1-1/4] = 1/4 : 3/4 = 1/4 x 4/3 = 1/3

4. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?

 diketahui :
* U₁ + U₂ = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 _{………….. (1)}
* U₃ + U₄ = 20
→ ar² + ar³ = 20
→ r² a(1+r) = 20 _……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r² (45) = 20
r² = 20/45 =4/9
r = 2/3 atau -2/3
karena suku-suku deret geometrinya diketahui positif maka r = 2/3
kita menentukan nilai a
a (1+2/3) =45
a x 5/3 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81

5. Jika jumlah takhingga deret a + a⁰ + a^-1 + a^-2 + a^-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah
deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan
suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a²/[a-1] 4a [a-1] = a²
4a² – 4a = a² (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/3

6. Coba amati gambar bujur sangkar di bawah. Jika gambar tersebut diteruskan berapa total jumlah luasnya?

Luas I = a x a = a²
Luas II =  1/2 a²
Luas III = 1/4 a²
dan seterusnya
dari deret geometri di atas terlihat nilai suku awal = a² dan rasio = 1/2
S_n→∞ = a/[1-r] = a²/0,5 = 2a²

7. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula adalah

suku awal = 3 dan U₆ = 96
U_n = a.r^n-1
96 = 3.r⁵
r⁵ = 32
r = 2
S₆ = a (1-r⁶)/ 1-r
S₆ = 3 (1-2⁶)/ 1-2 = -189/-1 = 189 cm

8. hitung berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatan mejadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh yang dapat sobat hitung capai?

 jarak yang ditempuh oleh sobat membentuk deret geometri 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ….
a = 4
b = 1/2
_n→∞ = a/[1-r] = 4/ [1-1/2] = 4/0,5 = 8 km

9. hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?

 deret aritmatika : U₁ + U₂ + U₃ = 12
misalkan U₁ = a-b ; U₂ = a ; U₃ = a+b
U₁ + U₂ + U₃ = 12
a-b + a + a+b = 12
3a = 12 maka kita dapat 4
kemudian deret geometri
a-b, a, a+b+2  merupakan deret geometri
4-b, 4, 6+brasio  = rasio
4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang)
4 x 4 = (4-b) (6+b)
16 = 24-2b-b²
b²+2b+16-24 = 0
b²+2b-8 =0
(b+4) (b-2) = 0
b = -4 atau b = -2
untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut adalah 8,4,0
hasil kalinya = 0
untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut adalah 2,4,6
hasil kalinya = 48

10. Diberikan sebuah barisan:
4, 12, 20, 28,...
Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas!
a = 1
b = 12 − 4 = 8
n = 40
U_n = a + (n − 1)b
U₄₀ = 4 + (40 − 1)8
U₄₀ = 4 + 312 = 316

11. Diberikan sebuah deret:
−10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + ....
Tentukan suku ke-17
a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17

Un = a + (n−1)b
U₁₇ = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54

12. Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah....
99, 93, 87, 81,...
a = 99
b = 93 − 99 = −6
Un = a + (n −1)b
Un = 99 + (22 − 1)(−6)
Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27

13. Rumus suku ke-n barisan adalah U_n = 2n (n − 1) . Hasil dari U₉ – U₇ adalah....
U₉ = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144
U₇ = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64
U₉ − U₇ = 144 − 64 = 80

14. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah....

Perhatikan polanya adalah sebagai berikut:

50,      45,     39,     32,  .....,    ......
     ^{_____     _____     _____     ______     ______}
      − 5       −6        −7         −8          −9

Sehingga suku berikutnya adalah 32 − 8 = 24 dan 24 − 9 = 15

15. Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8!
Dari:
3, 6, 9,...
a = 3
b = 3
U8 =......
Un = a + (n − 1)b
U8 = 3 + (8 − 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata

16. Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Data:
U₄ + U₇ = 81
U₄ = a + 3b dan U₇ = a + 6b sehingga
U₄ + U₇ = (a + 3b) + (a + 6b)
U₄ + U₇ = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U₁ = a = 18

17. Suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8!
Data :
U₁ = a = 2
U₆ = a + 5b
U₄ = a + 3b
U₆ − U₄ = 14
a + 5b −(a + 3b) = 14
2b = 14
b = 14/2 = 7
Sehingga suku ke-8
U₈ = a + 7b
U₈ = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51

19. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5  adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....
U_n  = a + ( n – 1 )b
             U₁₀ = a + 9b = 41
      U₅   = a + 4b = 21  _
5b = 20    → b = 4
a + 4b = 21 → a + 4.4 =21 → a + 16 = 21→ a  =5
U₅₀  = a + ( 50 – 1 )4
        = 5 +  49.4
        = 5 + 196
        = 201           
 

20. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n² + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah ….
U_n   = S_n – S_{n – 1}
U₂₀ = S₂₀ – S₁₉ = (20² + 5.20) – (19² + 5.19)
       = 500 – 456 = 44

21. Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….
Diketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln
        = 1.650 kg

22. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ….
U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165
(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b  = 165 (dibagi 3)
 a + 18b   = 55
Jadi U₁₉  = a + 18b = 55

 

23. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_n = n² + ⁵/₂ n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …
S_n = n² + ⁵/₂ n
S₁ = (1)² + ⁵/₂ (1) = 7/2
S₁ = u₁ = a
S₂ = (2)² + ⁵/₂ (2) = 9
S₂ = u₁ + u₂ = a + (a + b)
9 = 7/2 + (7/2 + b)
9 – 7 = b

24. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut, tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut, dan (25). tentukan jumlah 10 suku pertama deret aritmatika tersebut!.

Un = a + (n − 1)b

maka

U5 = a + (5 − 1)b

14 = a + 4b => a = 14 – 4b

U8 = a + (8 − 1)b

29 = a + 7b

29 = (14 – 4b) + 7b

15 = 3b

b = 5

a = 14 – 4b

a = 14 – 4.5

a = - 6                

Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah –6, dan beda barisannya adalah 5.

Suku ke-12 dari barisan tersebut:

U5 = a + (5 − 1)b

U12 = −6 + (12 − 1)5

U12 = −6 + 11 . 5

U12 = 49

Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis:

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

S10 = (10/2)(2.- 6 + (10 – 1)5)

S10 = 5 . (- 12 + 45)

S10 = 165

26. Suatu barisan aritmatika suku ke-2 dan suku ke-5 masing-masing 19 dan 31. Tentukan jumlah 30 suku pertama deret aritmatika tersebut!

Rumus:

Un = a + (n − 1)b

Maka,

U2 = a + (2 − 1)b

19 = a + b => a = 19 – b

U5 = a + (5 − 1)b

31 = a  + 4b

31 = 19 – b  + 4b

31 = 19 + 3b

12 = 3b

b = 4

a = 19 – b

a = 19 – 4

a = 15

Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis:

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

S30 = (30/2)(2.15 + (30 – 1)4)

S30 = 15.(30 + 116)

S30 = 2190

27. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. (28). Hitunglah jumlah 18 suku pertama deret aritmetika tersebut!

Rumus:

Un = a + (n − 1)b

Maka,

U7 = a + (7 − 1)b

22 = a + 6b => a = 22 – 6b

U11 = a + (11 − 1)b

34 = a  + 10b

34 = 22 – 6b + 10b

34 = 22 + 4b

12 = 4b

b = 3

a = 22 – 6b

a = 22 – 18

a = 4

Jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis:

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

S18 = (18/2)(2.4 + (18 – 1)3)

S18 = 9.(8 + 51)

S18 = 531

29. Rumus suku ke-n suatu barisan Un = 2n – n2. Hitunglah jumlah suku ke-10 dan ke-11 barisan tersebut!

Un = 2n – n2

Maka,

U10 = 2.10 – (10)2

U10 = 20 – 100

U10 = – 80

U11 = 2.11 – (11)2

U11 = 22 – 121

U11 = – 99

U10 + U11 = – 80 + (– 99)

U10 + U11 = – 179

Barisan-barisan berikut ini mempunyai banyak suku yang berjumlah ganjil. Tentukan suku tengah dari barisan-barisan aritmatika berikut ini:

30. 3, 8, 13,18, …, 103

U_t = ( U₁+U_n)

= ( 3+ 103)

= 53

31. 17, 19, 21,23,…, 97

U_t = ( U₁+U_n)

= ( 17+ 97)

=57

32. 8, 14, 20, 26, …, 224

U_t = ( U₁+U_n)

= ( 8+ 224)

= 116

33. 130, 126, 122, 108,…, -26

 U_t = ( U₁+U_n)

= ( 130+ (-26))

= 52

34. Banyaknya suku dari barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 122, 125 adalah…

U1 = 5 b = 3 Un = 125

Un = a + (n-1)b

125 = 5 + (n-1)3

125 = 5 + 3n -3

125 = 2 + 3n

123 = 3n

41 = n

35. Diketahui suku ke-2 barisan aritmatika 45, sedangkan suku ke-6 nya 37. Tentukan suku ke-5 barisan tersebut!

U₂ = 45 U₆ = 37

U₆ = U₂ + 4b

37 = 45 + 4b

-8 = 4b

-2 = b

U₅ = U₂ +3b

= 45 + 3(-2)

= 39

36. Barisan aritmatika dengan banyaknya suku ganjil mempunyai suku pertam 4, beda antar dua suku berurutan 3 dan suku tengahnya 22. Maka banyaknya suku barisan aritmatika tersebut adalah…

U₁ = 4 b = 3 U_t = 22

U_t = (U₁+Un)/2

22 = (4+Un)/2

44 = 4 + Un

40 = Un

Un = a + (n-1)b

40 = 4 + (n-1)3

40 = 4 + 3n - 3

40 = 3n +1

39 = 3n

13 = n

37. Diantara -5 dan 5 disisipkan 4 bilangan, sehingga bilangan awal dan sisipannya membentuk barisan aritmatika. Beda antar suku dari barisan tersebut adalah…

x = -5 y = 5 k=4

b = (y-x)/(k+1) = (-5-(-5))/(4+1) = 10/2 = 2

38. Ditentukan bilangan aasli kurang dari 50. Carilah banyaknya bilangan dari barisan tersebut yang habis dibagi 3!

bilangan habis dibagi kurang dari 150 habis dibagi 3 : 3, 6, 9, 12, …, 147

b = 3 a = 3 Un = 147

Un = a + (n-1)b

147 = 3 + (n-1)3

147 = 3 + 3n -3

147 = 3n

49 = n

39. Diketahui deret aritmatika U₂+U₃=12 dan U₇=15. Maka jumlah 5 suku pertamanya adalah….

U₂ + U₃ = 12 ==== 2a + 3b = 12 x 1 2a + 3b = 12

U₇ =15 ======== a + 6b = 15 x 2 2a + 12b= 30 _

-9b = -18

b = 2

a + 6b = 15

a + 12 =15

a =3

Sn = n/2 { 2a + (n-1)b}

S₅ = 5/2{ 2 . 3 + (5-1)2}

= 5/2 { 6 + 8 }

= 5/2 {14}

= 35